I apologize first for answering in English, I hope this will help you. As regards the problems you are mentioning the Private mode, here a few articles on the subject

Private browsing

Remove recent browsing, search and download history

as regards having several accounts available on the one and the same computer:

How do I share Firefox between people on a computer?

I apologize for answers in English (some of the articles should be in Russian., afaik). Let us know, if we can help you in any way.

Конфиденциальный режим в обозревателях нужен скорее не для защиты секретов от других пользователей, а для защиты от слежения со стороны веб-сайтов (можно прочитать рекомендованные статьи в предыдущем ответе). В описанном случае лучше вместо использования Конфиденциального режима настроить Firefox и использовать его в обычном режиме.

Чтобы ваши учетные данные не были доступны другим пользователям и их необходимо было вводить при каждом новом посещении сайтов, можно в настройках Firefox отключить запоминание паролей.

Для этого нужно из меню Firefox открыть Настройки. На вкладке Защита следует снять галочку Запоминать пароли сайтов.

Чтобы настройки сайтов не сохранялись на компьютере и после закрытия Firefox, следует настроить сохранение истории.

Для этого в окне настроек на вкладке Приватность, в раскрывающемся списке следует выбрать пункт Firefox будет использовать ваши настройки хранения истории. Ниже нужно выбрать в списке Сохранять куки: пункт до закрытия мною Firefox (или установить галочку Очищать истории при закрытии Firefox).

После это перезапустите Firefox.